اعدها د. محمود الحمزة
رسالة ابن البغدادي "المقادير المشتركة والمتباينة"

شرح المقالة العاشرة من "الأصول" لإقليدس


مخطوطة ابن البغدادي "رسالة في المقادير المشتركة والمتباينة":
مخطوطة ابن البغدادي (الحسن بن محمد بن حمله، أبو عبد الله – توفي في القرن الخامس الهجري/الثاني عشر الميلادي) "المقادير المشتركة والمتباينة" نشرت بتصحيح زين العابدين الموسوي وأحمد الله الندوي وحبيب عبد الله الحضرمي وآخرين، وإشراف عبد الله العمادي، وبنشر دار المعارف العثمانية، بحيدر آباد الدكن، مطبعة الدار، 1366هـ/1947م. مكونة من 108صفحات، نشرت ضمن كتاب " الرسائل المتفرقة في الهيئة للمتقدمين ومعاصري البيروني".
المخطوطة محفوظة في مكتبة بتنه 2468/31. وذكرها سزكين في الجزء الخامس من كتابه صفحة 392.
وقامت ماتفييفسكايا بترجمتها إلى اللغة الروسية والتعليق عليها وهي رسالة مؤلفة من أربعة فصول وتمثل شرحاً للمقالة العاشرة من كتاب "الأصول" لإقليدس.
يقدم ابن البغدادي في شرحه للمقالة العاشرة عرضاً للنظرية الهندسية للمقادير الصماء من نوع الجذر التربيعي وجذر الجذر التربيعي, ويورد نظريات إقليدس بلغة جبرية ويعطي أمثلة عددية موضحة لها. وترى ماتفييفسكايا بأن الأمثلة التي أوردها ابن البغدادي, من حيث كميتها ومستوى تعقيدها, لا مثيل لها في المخطوطات الجبرية العربية .
وينطلق ابن البغدادي من التقاليد اليونانية ليؤكد على الفرق الجوهري بين مفهومي المقدار والعدد. لكنه يسعى للتوفيق بين طريقة إقليدس, التي تتعامل مع المقدار الأصم كمفهوم هندسي بحت, وبين الحسّاب المعاصرين الذين تعاملوا مع المقادير الصماء كأعداد. لهذا الغرض يحاول ابن البغدادي اثبات التقابل التوافقي(وحيد المعنى) أولاً: بين المقادير المُنْطَقة والأعداد, وثانياً: بين المقادير الصماء التي تناولها إقليدس والأعداد الصماء من النوع وغيرها. وفي هذا المعنى يقول ابن البغدادي:"والذي بقي علينا أن نأتي بأعمال المقالة العاشرة وما وصلناه مما يشاكلها على مذهب الحساب وأمثلتهم ليعم الانتفاع بها ويقرب على متأمليها ولنقدم قبل ذلك ما نحتاج إليه بها" .
ويعرف المقدار المُنْطَق (الممثل بقطعة مستقيمة) على أنه المقدار الواحدي أو مضاعفاته أو جزئه (مثلاً إذا كان a – مقدار واحدي فإن المقادير المُنْطَقة هي a وَ a n وَ a /n ,حيث n = 1, 2, 3, …. وتضاف إليها "الأجزاء" أي المقادير التي يمكن التعبير عنها بالكسور (m/n).a . ويبين ابن البغدادي أن علاقة هذه المقادير المُنْطَقة ببعضها مثل علاقة الأعداد ببعضها.أما المقادير الصماء فهي التي لا تعتبر "أجزاءً" ومنها المتوسط الهندسي بين مقدارين نسبتهما كالنسبة بين عددين صحيحين متتاليين. وتتمتع هذه المقادير بنفس خواص المقادير الصماء. ومن أجل إثبات الترابط بين التصور الهندسي والحسابي للمقدار الأصم يقوم ابن البغدادي بدراسة مفصلة لمفهوم الجذر. ويدخل مفهوم "جذر المقدار" ويبين الفرق بينه وبين "جذر العدد" كما يلي: جذر العدد هوالمتوسط الهندسي بين العدد المعطى a وبين الواحد أي أم أجذر المقدار فهو المتوسط بين المقدار المعطى والمقدار الواحدي الذي يمكن إنشائه (أي المتوسط) بواسطة المسطرة والفرجار. ويضيف ابن البغدادي بأن جذر العدد إما موجود أو غير موجود أما جذرالمقدار فهو بالضرورة موجود ويكون مُنْطَقاً أو أصماً. كما يشير ابن البغدادي إلى الخلط بين المفهومين والسبب برأيه هو في التمثيل البياني فمربع المقدار يمثله مربع في المستوي ويؤكد بأن الجذر يجب أن يمثل بمستطيل أحد ضلعيه هو ضلع المربع والضلع الآخر هو القطعة المستقيمة الواحدية. ويقترح ابن البغدادي طرقاً لتمثيل الجذور بيانياً ويورد فكرة ملفتة للانتباه متناقضة مع مبادئ الجبر الهندسي وهي:إن ما ينتج عن ضرب أحد مقدارين متجانسين في الآخر هو مقدار متجانس معهما وهو متوسط بين مربعيهما ويصلح ذلك للخطوط والسطوح والأجسام. ويعبر عن ذلك ابن البغدادي بقوله: "والمجتمع من ضرب أحد قدرين متجانسين في الآخر هو قدر من جنسهما يكون موسطاً بين مجذوريهما ويتوالا جميعاً على نسبة واحدة كان القدران خطين أو سطحين أو جسمين " وعند دراسته للمقادير الصماء من مراتب مختلفة: و و وهكذا...فإن ابن البغدادي يدخل مصطلحات خاصة لمراتب المقادير الصماء: فمثلاً الجذر التربيعي هو مقدار أصم من المرتبة الأولى ويرمز له بصفر واحد, المقدار الأصم من المرتبة الثانية جذر يرمز له بصفرين وهكذا... ويقتصر ابن البغدادي مثله مثل إقليدس على دراسة المقادير الصماء من المرتبة الثانية علماً أنه يؤكد صحة نظرياته للمراتب الأعلى. حسب ابن البغدادي الأعداد الواقعة بين 4 و 9 كلها مُنْطَقة أما الأعداد الواقعة بين 2 و3 فهي مُنْطَقة بالقوة أي مربعها عدد مُنْطَق كما في الشكل (بدل الجذر عند ابن البغدادي صفر):
ويورد مناقشة مماثلة للمقادير الصماء من المرتبة الثانية بالمثال الآتي (بدل الجذر يستخدم صفر وبدل جذر الجذر يستخدم صفرين وهكذا):

ويقول ابن البغدادي في هذا الإطار "و إن الشمس معرفة ما قدمناه من لم يرتض بالهندسة ومما احتجنا به منها اكتفى بعدد سمات هذه الأقدار وما عرفت به من الأعداد على أن يجعل القدر ذا الصفر الواحد جذر القدر الذي فوقه والقدر ذي الصفرين جذر جذر له وذلك ما أردنا بيانه" .
فكما هو معروف في الجبر الهندسي فإن حاصل ضرب مقدارين ممثلين بخطين (بضلعين) هو مساحة المستطيل المرسوم على هذين الخطين أما حسب ابن البغدادي فإن حاصل ضرب خطين هو خط وحاصل ضرب مساحتين(سطحين) هو مساحة (سطح) وحاصل ضرب حجمين (جسمين) هو حجم (جسم).(الشكل2 ص 7 من 9).
نورد فكرة ابن البغدادي: نأخذ مربعاً - أ ب جـ د - نحدد على ضلعه - جـ د - قطعة واحدية - جـ ز - ونرسم مربعاً عليه هو - جـ ز حـ هـ- ونكمل المستطيل- جـ د و هـ -. يثبت ابن البغدادي على أن نسبة السطح المربع - أ ب جـ د- إلى السطح- جـ د و هـ- كنسبة السطح -جـ د و هـ- إلى المربع -جـ ز حـ هـ-. أي أنه عملياً يأخذ مساحة المربع ويقسمها على مساحة المستطيل الذي أحد أضلاعه واحدة والثاني ضلع المربع الكبير فيجد أنها هي نفس نسبة مساحة المستطيل المساوية عملياً لضلع المربع إلى مساحة المربع الواحدي المساوية للواحد وبالتالي لو مثلنا ذلك جبرياً لحصلنا علىما يلي: أي أن السطح -جـ د و هـ - هو جذر المربع -أ ب جـ د-).يقول ابن البغدادي: " وقد وجدنا كتباً كثيرة قديمة كانت صورة الجذر والمجذور فيها على هذه الصورة [كما أوضحنا أعلاه] ثم استثقل من أتى بعدهم بإضافة مربعي ج ه - و د - ج ه - ح ز إلى مربع أ ب - ج د واقتصروا على أن يفصلوا من خط- ج د- خط- ج ز- القوى على ما وقعت عليه الوحدة طلباً للإيجاز وكراهة لتكرير ما جرى به العرف فتوهم من أتى بعد أن خط- ج ز- جذر لمربع- أ ب ج د" .
ويمكن توضيح فكرة ابن البغدادي السابقة بأنه عند ضرب مقدارين من نفس النوع أو استخراج جذر ينتج مقدار من نفس النوع فإنه من الممكن الاستمرار في تمثيل هذه العمليات هندسياً قدر ما نشاء. أي أن جذر السطح هو سطح وهكذا... فمن أجل الخطوط يقوم ابن البغدادي برسم قطع مستقيمة متتالية تمثل متوسطاً هندسياً بين القطع المفروضة والقطعة الواحدية لكي يحصل على الجذر وجذر الجذر وهكذا... وكذلك يتعامل مع السطوح ويستخدم حتى المثلثات ذات الارتفاعات المتساوية.
يقول ابن البغدادي نبدأ بالخطوط المستقيمة: نفرض أن مقدار المربع هو خط - ب ج. ولتكن القطعة الواحدية- أ ب- نرسم على الخط- أ ج- نصف دائرة- أ و ج-. و نرسم من- ب –عموداً - ب و على الخط -أ ج – فيكون- ب و- جذر- ب ج. فإذا أردنا القدر الذي يكون- ب ج- جذراً له نظرنا من قدر – أ ب- فصلنا منه قدر – ب د- وإن كان قدر– أ ب- أعظم منه أخرجنا – ب و- إلى – ع – حتى يكون مساوياً له ووصلنا إلى نقطتي – د ع-كانت بنقطة- ج- وعملنا على نقطة – ج- من خط - دج- أ و ع ج- زاوية قائمة واخرجنا من نقطتي – ب-ج- ب ه – ج ه – يلقيان على نقطة – ه – فيكون خط – ب ج – جذر- ب ه – ويكون – ب و – جذر جذره وعلى هذا يكون ما أردناه من تكرير – ب و – في التجذير وبعد المنزلة من البعد الأول المجذور. ويعرض ابن البغدادي طريقة مشابهة من أجل السطوح.
ثم يتابع دراسة المقادير الصماء من مراتب مختلفة ويصنفها كما يلي: 1) المُنْطَقة بالقوى فقط – صماء من المرتبة الأولى, 2) الموسط (المتوسط الهندسي) – صماء من المرتبة الثانية, 3) المتوسط الثاني – صماء من المرتبة الثالثة وهكذا...
ويبرهن ابن البغدادي مجموعة من التمهيديات التي يحتاجها في دراسته اللاحقة للأعداد الصماء ويتضح لنا من ذلك أنه متابع لطريقة إقليدس في الحفاظ على الدقة والمنطقية والبرهان في العرض. وفي حين يتكلم ابن البغدادي عن ضرب "خط بخط" فإنه في القسم الثالث – الحسابي- يستخدم المفاهيم "عدد", ""خط"و "مقدار" على أنها متكافئة.
ويثبت ابن البغدادي علاقات مختلفة بين الأعداد الصماء من مراتب مختلفة. مثلاً يأخذ ثلاثة مقادير متناسبة ومُنْطَقة بالطول ومربعاتها ومربعات مربعاتها.
فحسب رموز ابن البغدادي: أما باستخدام رمز الجذر:
فمن أجل المرتبة الأولى نجد العلاقات:

ومنها نستنتج ما يلي:
1) أي بضرب المقدار الثاني ذي الصفر (المجذور) من المرتبة الأولى بالعدد 2 نحصل على المقدار الأول ذي الصفر من المرتبة الثانية.
2) أي بضرب المقدار الأول ذي الصفر من المرتبة الأولى بالمقدار الثالث نحصل على مقدار مُنْطَق 8 من المرتبة الثانية وهكذا....
3)
4)
5)
6)
ونلاحظ وجود علاقات مشابهة بالنسبة للمرتبة الثانية: من ضرب المقادير ذات الصفر نجد مقادير موافقة من المرتبة الثالثة:
7)
8)
9)
ويتم البرهان على أن المقادير الأولى والثانية والثالثة ذات الأصفار ليست متقايسة(مشتركة) مع 2 وكذلك الحال مع المقادير الرابعة والخامسة والسادسة والعدد 4.وهكذا....
ونلاحظ مثلاً أن المقدارين و متوسطين هندسيين لكن حاصل ضربهما مقدار مُنْطَق 8.
كما يدرس المؤلف حالات أخرى مثل: حاصل ضرب المتوسطين الهندسيين مقدار متوسط هندسي.
ويبحث ابن البغدادي عن متوسط حاصل ضربه بالمتوسط الهندسي هو مقدار متوسط. ويؤكد أن المتوسط المطلوب هو الذي يقع بين و 4 ولكنه لا يمثل متوسط هندسي تناسبي بينهما. ويتحقق من أجلهما: أي أنهما متقايسان فقط بالقوة. وبذلك يقدم ابن البغدادي مثالاً على متوسطين متقايسين فقط بالقوة لكن حاصل ضربهما مساحة متوسطة هندسية
وهنا نجد التناقض مع فكرة إقليدس عند انتقالنا إلى اللغة الحسابية: حيث بمثل في نفس الوقت مقدار مُنْطَق بالقوة ومساحة متوسطة هندسية لأن: .
ويعطي المؤلف في الجزء الثالث من المخطوطة قواعد ضرب وقسمة الأعداد على المقادير الصماء والمقادير على الأعداد ويبرهن على أن الناتج هو من نفس النوع الأصم مثلاً:
وغيرها.
كما يورد قواعد عامة لضرب وقسمة المقادير الصماء من مراتب مختلفة مثل:

ثم يعرض المؤلف قواعد لجمع المقادير الصماء وضرب جذر مجموع مكون من عدد وجذر وهكذا....ومن الأمثلة:

ويعطي قاعدة عامة مع الأمثلة:

بعد ذلك يعرض قواعد لإيجاد جذور الأعداد الصماء. مثلاً: بوجد جذر العبارة حيث . ولذلك يقسم العدد الأكبر إلى جزأين . أي أنه يبحث عن حلول المعادلة التربيعية: . ويعطي الحل على الشكل:
أو
ويعطي أمثلة على جميع أنواع الأعداد الصماء المدروسة في المخطوطة:

ويورد ابن البغدادي خاصية كثافة الأعداد اللانسبية "ما لا يتناهى من الأقدار الصم بين كل قدرين منطقين في مراتب مختلفة الأبعاد مرتبة القدر المنطق منها متناهي العدة". وتؤكد هذه الخاصية على وجود عدد لا نهائي من الأعداد الصماء (اللانسبية) بين كل عددين مُنْطَقين (نسبيين) وتلك من أهم خواص الأعداد الحقيقية وقد تكلم عنها الخيام (القرن 12م) وغيره ممن أتى بعد ابن البغدادي.
وأعطى ابن البغدادي تعريفاً للعدد الطبيعي في غاية الأهمية وهو الخاصية المشتركة المجردة للمجموعات المكونة من عنصر أو عنصرين أو أكثر بغض النظر عن طبيعة المعدودات وهذا التعريف يشبه التعريف الفلسفي للعدد الذي قدمه كانتور أوبرتراند راسل .
ونلاحظ بأن ثلث المخطوطة تقريباً مكرس لنظريات عن خواص المقادير الصماء التي تغني المقالة العاشرة من "الأصول" لإقليدس والتي برهنها بطرق هندسية.ثم يعتمد على تلك النظريات لاحقاً في القسم الأخير من مخطوطته حيث يقدم عرضاً جبرياً لنظرية الجذور التربيعية الصماء. يعبر ابن البغدادي عن الأعداد بالكلمات أو بالحروف أما الأرقام الهندية فقد استخدمها ثلاث مرات في الصفحة 94 من المخطوطة.