اعدها د. محمود الحمزة
رسالة ابن البغدادي "المقادير المشتركة والمتباينة"

شرح المقالة العاشرة من "الأصول" لإقليدس



عن المقالة العاشرة من "الأصول" لإقليدس

اعتمدت الرياضيات العربية في القرون الوسطى, كما هو معروف, على ما قدمه العلم اليوناني والذي تمت ترجمته إلى العربية خلال القرنين التاسع والعاشر للميلاد. ومن أهم المراجع اليونانية التي نقلت إلى العربية كتاب "الاصول" لإقليدس (ق 3 ق.م.) الذي ترجم إلى العربية أكثر من خمسين مرة.ويعتبر كتاب "الأصول" أقدم وأوسع كتاب توصل إليه العلماء اليونان في الهندسة وميزة هذا الكتاب أنه بني على منظومة منطقية بديهية (أكسيوماتيكية) متكاملة كانت الأولى من نوعها ولذلك سميت تلك الهندسة بهندسة إقليدس تقديراً لواضعها ولتمييزها عن غيرها من الهندسات المعروفة باللاإقليدية. وفيه 13 مقالة: تضم المقالات من 1-6 الهندسة المستوية. الأولى: أساسية وتشمل تعريف المسلمات وتتناول المثلثات والمتوازيات ومتوازيات الأضلاع إلخ ويمكن تسمية الثانية بالجبر الهندسي. أما الثالثة: هندسة الدائرة والرابعة: كثيرات الأضلاع المنتظمة. والخامسة: تعالج نظرية النسبة للمقادير الصماء والمُنْطَقة. وفي السادسة: يطبق النظرية على الهندسة المستوية. أما المقالات من 7-10 مكرسة للحساب ونظرية الأعداد, وهي تعالج أعداداً من أنواع مختلفة مثل الأعداد الأولية والأولية فيما بينها والمضاعف المشترك الأصغر والأعداد التي تشكل متتالية هندسية وغيرها. وتتضمن المقالات 11-13 الهندسة الفراغيةلمقالة العاشرة: وهي أعظم ماكتبه إقليدس ويعتبرها الباحثون أكثر أعماله اكتمالاً وشمولاً لموضوع المقادير الصماء وتصنيفها وهي أكبر مقالاته وأصعبها على الفهم. وقد كتب الكثير عن أهمية هذه المقالة. فقد وصفها البعض "بالمقالة العجيبة" وآخرون بأنها "نموذج لعمق الأفكار عند الهندسيين القدماء"[3,ص 58].ولقد تعامل اليونان مع "العدد" على أنه العدد الطبيعي (ذي الطبيعة المتقطعة) بينما "المقدار" فهو كائن هندسي (ذو طبيعة مستمرة) عبروا عنه بالقطعة المستقيمة ووفقاً لهذه الرؤية فقد تعاملوا مع المقادير الصماء (غير المُنْطَقة-اللانسبية) بوصفها قطع مستقيمة وحتى الجبر تناوله اليونان من وجهة نظر هندسية. ومن الطريف أن نذكر موقف فيثاغورس وتلاميذه من اكتشافهم للعدد على أنه طول الوتر لمثلث قائم متساوي الساقين طول ضلعه القائم 1, حيث اتفقوا على أن لا يخبروا أحداً حول هذا العدد غير الطبيعي (الأصم) ويقال أن الذي أفشى بالسر تم اغتياله من قبل الجمعية الفيثاغورية التي كانت تشبه التنظيم السري.
أما تيتيتوس فهو أول من صنف المقادير الصماء كما يشير إلى ذلك أفلاطون. وقام تيتيتوس بتعريف الموسط (الخط -المقدار) على أنه يقابل المتوسط الهندسي وأن ذو الأسمين ( الخط) يقابل المتوسط الحسابيي وأن المنفصل(الخط) يقابل المتوسط التوافقي. مثلاً: لو أخذنا مقدارين 1 و , حيث a عدد غير مربع, فالمتوسط الهندسي لهما هو والمتوسط الحسابي هو , والمتوسط التوافقي لهما هو .
وقد حظيت المقالة العاشرة باهتمام كبير من قبل الباحثين في الدراسة والشرح. ولكي نفهم محتواها بشكل جيد يجب أن نترجمها إلى اللغة الجبرية المعاصرة مع أن ذلك يشوه تسلسل الأفكار عند إقليدس.
فالمقدار عند إقليدس هو كائن هندسي مثل قطعة مستقيمة أو مساحة مستطيلة. ويعرف إقليدس (التعريف1 و 2) في بداية المقالة المقادير "المتقايسة خطياً" (عند ابن ابغدادي المشتركة خطياً) وهي القطع المستقيمة التي يمكن قياسها بقطعة مستقيمة تم اختيارها كواحدة قياس, أما "المتقايسة بالقوى" (المشتركة بالقوى حسب ابن البغدادي) فهي تلك القطع التي تكون المربعات المرسومة عليها متقايسة مع مساحة معينة (أي كأن مربعاتها قابلة للمقارنة ) وإن لم تكن هناك مساحة للقياس فإن المقادير غير متقايسة بالقوى.وفي التعريف 3 يعطي قطعة مستقيمة ويسميها مُنْطَقة (نسبية) كمقدار ويؤكد إقليدس أن هناك عدد لانهائي من القطع المتقايسة أو غير المتقايسة معها(خطياً أو بالقوى). فكل المقادير المتقايسة معها خطياً أو بالقوى تسمى مُنْطَقة. أما غير المتقايسة فتدعى صماء (غير مُنْطَقة). ونوضح ذلك بالرموز الجبرية المعاصرة:
نرمز للقطعة المستقيمة a عندها كل القطع الخطية تصنف كما يلي:
1) متقايسة مع a أي التي من الشكل m.a ,حيث m عدد مُنْطَق . 2) غير متقايسة مع a : وهي نوعان: إما متقايسة مع a بالقوى أي التي لها الشكل حيث n عدد مُنْطَق غير مربع, وإما غير متقايسة مع a بالقوى أي التي ليست من الشكل . وسميت المقادير m.a وَ .مُنْطَقة حيث m.a مُنْطَقة خطياً (بالطول) وَ مُنْطَقة بالقوى. ونلاحظ هنا أن مفهوم إقليدس للمُنْطَق والأصم مختلف عن مفهومنا المعاصر لهما حيث يفهمهما إقليدس بشكل نسبي. فالمقدار مُنْطَق أو أصم حسب كونه متقايس أم لا مع قطعة مستقيمة مفروضة(يتم اختيارها), وحسب إقليدس فإن المقادير m وَ تعتبر مُنْطَقة. وقام العلماء العرب بإزالة هذا الالتباس فاعتبروا جذر العدد غير المربع ليس مُنْطَقاً بل هو أصم من المرتبة الأولى.
إن اكتشاف المقادير الصماء جعل الفيثاغوريين, الذين رأوا في العدد مجموعة واحدات, يعترفون بالفرق الجوهري بين العدد والمقدار. ومن أجل التخلص من هذا الاشكال نشأت النظرية العامة لنسبة المقادير (التي كانت تلعب دور العدد الحقيقي) مقابل نظرية النسبة للأعداد الصحيحة (الكسور) ونشأ الجبر الهندسي كأداة فعالة مستخدمة في المقادير المُنْطَقة والصماء. كما توصل إقليدس إلى أمثلة على وجود مقادير ليست متقايسة لا خطياً ولا بالقوى.
ونذكر هنا أن الهنود بعكس اليونان تعاملوا مع المقادير الصماء بحرية أكبر أي كأعداد لكنهم لم يبرهنوا على صحة عملياتهم بشكل منطقي فنجد عند بهاسكارا الثاني (ق12م) جذر ثنائي الحد:

وهنا يطرح سؤال عن الهدف من المقالة العاشرة! فمن المؤرخين من يرى أن أن الهدف هو دراسة حلول المعادلات التربيعية والتي من الدرجة الرابعة بمعاملات مُنْطَقة. أما آخرون فيعتقدون أن تصنيف علماء اليونان للمقادير الصماء سببه البحث عن بديل للرموز الجبرية التي لم تكن معروفة آنذاك.
وبرأي الباحثة الروسية ماتفييفسكايا فإن تناول إقليدس لمفهومي المقدار والعدد شيء جوهري, حيث يستخدم المقدار ليعبر عن كمية مستمرة (قطعة مستقيمة) بينما العدد ككمية متقطعة. ويخفي مفهوم المقدار عند اليونان معنى فلسفي ورياضي عميق. وتشكل الدراسة التاريخية للمقالة العاشرة جانباً مهماً في مسألة أعم ألا وهي صياغة مفهوم العدد الحقيقي.